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Erklärung zur Hamming-Distanz
Die Hamming-Distanz zwischen zwei gleich langen Zeichenketten (in diesem Fall Bitfolgen) ist die Anzahl der Stellen, an denen sich die entsprechenden Symbole unterscheiden. Die Hamming-Distanz ist eine Metrik für den Vergleich zweier Bitfolgen, und sie findet breite Anwendung in der Fehlererkennung und -korrektur.
Um die
größte Hamming-Distanz unter drei unterschiedlichen 4-Bit-Wörtern zu ermitteln, müssen wir die drei 4-Bit-Wörter so wählen, dass der Abstand zwischen jedem Paar Wörter so groß wie möglich ist.
Analyse
Bei 4-Bit-Wörtern kann jedes Bit entweder 0 oder 1 sein, was zu \(2^4 = 16\) möglichen Wörtern führt. Die maximale Hamming-Distanz zwischen zwei 4-Bit-Wörtern ist 4, wenn die Bitfolgen komplett entgegengesetzt sind (z.B. 0000 und 1111).
Für drei unterschiedliche Wörter möchten wir die Distanz zwischen jedem Paar von diesen so groß wie möglich machen.
Lösungsdurchführung
Um diesen Ansatz zu verdeutlichen:
1. Wählen wir ein Startwort, zum Beispiel
0000.
2. Das Wort mit der maximal möglichen Distanz dazu ist
1111, die Distanz beträgt 4.
3. Jetzt benötigen wir ein drittes Wort, das ebenfalls eine möglichst große Distanz zu beiden vorherigen Wörtern hat. Beachten Sie, dass jedes Wort, das wir als drittes Wort wählen, nicht die maximale Distanz zu *beiden* der anderen Worte gleichzeitig halten kann. Ein Wort wie
0101 oder
1010 hätte eine Distanz von 2 zu beiden vorherigen Wörtern.
Optimierung
Um die größtmögliche minimale Distanz zwischen den drei Wörtern zu erzielen, sollten wir daher ein Wort wählen, das eine Distanz von 2 zu den anderen beiden hat, was dem optimalen Gleichgewicht entspricht. Denn wenn die Distanz zwischen einem der Paare größer als 2 wäre, würde die Distanz zum anderen Paar notwendigerweise abnehmen.
Ausgehend von den gewählten Beispielen \(0000\), \(1111\), könnte ein drittes Wort \(1010\) oder \(0101\) sein (oder jedes Wort, das zwei Bits von jedem der Anfangswörter verändert), und alle drei Paare dieser Wörter haben jeweils eine Distanz von zumindest 2.
Antwort
Die größte Hamming-Distanz, die man mit drei je unterschiedlichen Vier-Bit-Wörtern erreichen kann, wobei die minimale Distanz zwischen jedem Wortpaar maximiert wird, ist
2.
Jedes der drei Worte teilt mindestens eine Distanz von 2 mit den anderen beiden, was die optimale Verteilung für drei solche Wörter ist. Eine höhere minimale Distanz für alle drei Paare in einem solchen Set ist nicht möglich.
