Woher stammen diese Wahrscheinlichkeiten? Hamming-Abstand und Kanalcodierung

Question

Aufgabe:

Wir betrachten den BSCε mit ε = 0,1 und den Blockcode C = {c1, c2} mit den Codeworten c1 = 010 und c2 = 101. Auf das empfangene Wort y wird ein Decodierer D = {D1,D2} angewandt, der das Wort zu dem Codewort decodiert, welches den geringsten Hamming-Abstand zu y besitzt. Bestimmen Sie D1 und D2 und die globale Fehlerwahrscheinlichkeit ERROR(D), wenn die Codeworte mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten.

Tipp: Zu einer gegebenen Ausgabe y gibt es nur eine mögliche Eingabe x, die zu einer fehlerhaften Decodierung führt. (Y = 100 wird nur falsch dekodiert, wenn die gesendete Nachricht x = c1 = 010 ist.) Der Term (1− p(D(y)|y)) lässt sich also ausdrücken als Pr[X = x|Y = y]für ein geeignetes x.

Nun $$\begin{aligned} &\text { Hamming-Abstände: }\\ &\begin{array}{c|cc} \text { Code } & 010 & 101 \\ \hline \hline 000 & 1 & 2 \\ \hline 001 & 2 & 1 \\ \hline 010 & 0 & 3 \\ \hline 011 & 1 & 2 \\ \hline 100 & 2 & 1 \\ \hline 101 & 3 & 0 \\ \hline 110 & 1 & 2 \\ \hline 111 & 2 & 1 \\ \hline \end{array} \end{aligned}$$

$$\left.D_{1}=\{000,010,011,110\} \text { (entscheidet sich für } 010\right) \\ \left.D_{2}=\{001,100,101,111\} \text { (entscheidet sich für } 101\right)$$

$$\begin{aligned} E R R O R(D) &=\sum_{y \in \Sigma_{A}^{3}} p(y)(1-p(D(y) | y)) \\ &=\overbrace{2 \cdot p(y)(1-p(D(y) | y))}+\quad \overbrace{6 \cdot p(y)(1-p(D(y) | y))}^{ } \\ &=2 \cdot\left(\frac{729}{2000}+\frac{1}{2000}\right)\left(\frac{7}{250}\right)+6 \cdot\left(\frac{81}{2000}+\frac{9}{2000}\right)\left(\frac{757}{1000}\right) \end{aligned}$$ Woraus ergeben sich$$ \frac{7}{250}$$ und $$\frac{757}{1000}$$

Ich versuche zu begreifen, woher diese beiden Wahrscheinlichkeiten herkommen.

Comments

"wenn die Codeworte mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten."

Kannst du die Codeworte zählen? Wenn nicht: Kannst du sie "aufzählen"?

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Woher stammen diese Wahrscheinlichkeiten? Hamming-Abstand und Kanalcodierung

Um die Fragestellung zu beantworten, betrachten wir zunächst das gegebene Szenario eines binären symmetrischen Kanals (BSC) mit Fehlerwahrscheinlichkeit \(\epsilon = 0,1\) und den Blockcode \(C = \{c_1, c_2\}\) mit den Codeworten \(c_1 = 010\) und \(c_2 = 101\). Es liegt ein Decodierungsschema vor, das ein empfangenes Wort \(y\) zu dem Codewort decodiert, welches den geringsten Hamming-Abstand zu \(y\) besitzt.

Die Wahrscheinlichkeiten \(\frac{7}{250}\) und \(\frac{757}{1000}\) zu verstehen, erfordert die Betrachtung der einzelnen Schritte, die diese zustande kommen lassen.

1. Hamming-Abstand und Decodierung von Wörtern:
- Der Hamming-Abstand gibt an, wie viele Stellen sich zwei Wörter unterscheiden.
- Anhand der Tabelle der Hamming-Abstände können wir erkennen, zu welchem Code jedes mögliche empfangene Wort decodiert wird. \(D_1\) und \(D_2\) gruppieren Empfangswörter basierend auf dem nächstgelegenen Codewort.

2. Berechnung der globalen Fehlerwahrscheinlichkeit \(ERROR(D)\):
- Um \(ERROR(D)\) zu berechnen, müssen wir die Wahrscheinlichkeit betrachten, dass ein empfangenes Wort \(y\) fälschlicherweise decodiert wird.
- Diese Fehlerwahrscheinlichkeit setzt sich aus der Summe der Fehlerwahrscheinlichkeiten aller möglichen empfangenen Wörter zusammen, jeweils gewichtet mit deren Auftrittswahrscheinlichkeit.

Den genauen Ursprung von \(\frac{7}{250}\) und \(\frac{757}{1000}\) nachzuvollziehen, bedeutet, den Fehlerfall jedes einzelnen empfangenen Wortes zu analysieren und die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses zu berechnen. Da die expliziten Rechnungen fehlen, können wir den Ursprung dieser spezifischen Wahrscheinlichkeiten anhand der gegebenen Informationen ableiten durch die Fehlinterpretation bzw. Fehler bei der Berechnung. Normalerweise würden diese Wahrscheinlichkeiten durch detaillierte Überlegungen zu den Pfaden, die ein korrektes Codewort in ein inkorrektes decodiertes Wort überführen können, errechnet.

Wahrscheinlichkeiten im Kontext der Kanalcodierung bzw. Fehlerkorrektur werden häufig durch die Analyse aller möglichen Übertragungspfade unter Berücksichtigung der Übertragungsfehlerwahrscheinlichkeiten \(\epsilon\) und der Komplementärwahrscheinlichkeiten \(1 - \epsilon\) errechnet. Jeder Pfad von einem gesendeten Wort zu einem empfangenen Wort wird dabei einzeln betrachtet.

Berechnung in diesem Kontext:

Um exakte Werte wie die erwähnten \(\frac{7}{250}\) und \(\frac{757}{1000}\) zu berechnen, wäre eigentlich eine detaillierte Analyse sämtlicher Pfade erforderlich, die aufgrund falscher Decodierung zu den genannten Wahrscheinlichkeiten führen. Jedoch ohne präzise Darstellung, wie diese spezifischen Werte zustande kommen, kann angenommen werden, dass diese durch komplexe Berechnungen unter Berücksichtigung der Wahrscheinlichkeiten für das Auftreten jedes empfangenen Wortes (basierend auf \(1 - \epsilon\) und \(\epsilon\)) sowie der Abbildung auf die entsprechenden Codeworte durch den Decodierer entstehen.emailer