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Beweis, dass der Hamming-Abstand auf \( K^n \) eine Metrik definiert
Definition des Hamming-Abstandes:
Sei \( x = (x_1, x_2, \ldots, x_n) \) und \( y = (y_1, y_2, \ldots, y_n) \) zwei Elemente aus \( K^n \). Der Hamming-Abstand \( d_H(x, y) \) ist definiert als die Anzahl der Positionen, an denen \( x \) und \( y \) verschieden sind.
\( d_H(x, y) = \sum_{i=1}^{n} \delta(x_i, y_i) \)
wobei \( \delta(x_i, y_i) = \begin{cases}
0, & \text{wenn } x_i = y_i \\
1, & \text{wenn } x_i \neq y_i
\end{cases} \)
Um zu beweisen, dass \( d_H \) eine Metrik ist, müssen wir zeigen, dass die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:
1.
Nichtnegativität: \( d_H(x, y) \geq 0 \) für alle \( x, y \in K^n \)
2.
Identität: \( d_H(x, y) = 0 \) genau dann, wenn \( x = y \)
3.
Symmetrie: \( d_H(x, y) = d_H(y, x) \) für alle \( x, y \in K^n \)
4.
Dreiecksungleichung: \( d_H(x, z) \leq d_H(x, y) + d_H(y, z) \) für alle \( x, y, z \in K^n \)
1. Nichtnegativität:
Da \( \delta(x_i, y_i) \) für jedes \( i \) entweder 0 oder 1 ist, ist \( \delta(x_i, y_i) \geq 0 \). Somit ist auch die Summe \( d_H(x, y) = \sum_{i=1}^{n} \delta(x_i, y_i) \) immer nichtnegativ.
\( d_H(x, y) \geq 0 \)
2. Identität:
Wenn \( x = y \), dann \( x_i = y_i \) für alle \( i \), sodass \( \delta(x_i, y_i) = 0 \) für alle \( i \). Daher ist
\( d_H(x, y) = \sum_{i=1}^{n} \delta(x_i, y_i) = 0 \)
Umgekehrt, wenn \( d_H(x, y) = 0 \), dann muss für jedes \( i \) gelten, dass \( \delta(x_i, y_i) = 0 \), was bedeutet, dass \( x_i = y_i \). Somit ist \( x = y \).
3. Symmetrie:
Da \( \delta(x_i, y_i) = \delta(y_i, x_i) \) für alle \( i \), ist
\( d_H(x, y) = \sum_{i=1}^{n} \delta(x_i, y_i) = \sum_{i=1}^{n} \delta(y_i, x_i) = d_H(y, x) \)
4. Dreiecksungleichung:
Für \( x, y, z \in K^n \) haben wir:
\( d_H(x, z) = \sum_{i=1}^{n} \delta(x_i, z_i) \)
Für jedes \( i \) gilt durch die Eigenschaft von \(\delta\):
\( \delta(x_i, z_i) \leq \delta(x_i, y_i) + \delta(y_i, z_i) \)
Summieren wir über alle \( i \) von 1 bis \( n \), erhalten wir:
\( \sum_{i=1}^n \delta(x_i, z_i) \leq \sum_{i=1}^n (\delta(x_i, y_i) + \delta(y_i, z_i)) \)
Dies lässt sich weiter als die Summe der einzelnen Hamming-Abstände ausdrücken:
\( d_H(x, z) \leq d_H(x, y) + d_H(y, z) \)
Damit sind alle Bedingungen einer Metrik gezeigt.
Schlussfolgerung:
Der Hamming-Abstand \( d_H \) auf \( K^n \) erfüllt alle notwendigen Eigenschaften einer Metrik: Nichtnegativität, Identität, Symmetrie und Dreiecksungleichung. Daher ist der Hamming-Abstand eine Metrik auf \( K^n \).
