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Minimierung des OBDD
Zur Minimierung eines OBDD (Ordered Binary Decision Diagram), welches eine spezielle Form eines binären Entscheidungsbaums ist, werden die Terme reduziert und zusammengefasst, um die einfachste Form der Funktion zu erhalten, die durch den OBDD repräsentiert wird. Dieser Prozess beinhaltet unter Anderem das Zusammenfassen äquivalenter Knoten und das Entfernen redundanter Tests.
Betrachten wir den gegebenen OBDD und die Variablenordnung \(x_{0} < x_{1} < x_{2} < x_{3}\).
Der OBDD kann durch folgende Logik vereinfacht werden:
1.
Eliminierung redundanter Knoten: Zwei Knoten sind redundant, wenn sie gleiche Entscheidungen und gleiche Unterbäume haben.
2.
Ersetzung durch äquivalente Knoten: Wenn zwei Pfade zum gleichen logischen Ergebnis führen, kann einer durch einen einfacheren Pfad ersetzt werden.
Durch das Untersuchen des OBDD und der gegebenen Terme können wir den minimierten OBDD bestimmen:
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A: \( \overline{x_{0}} x_{2} \): Dieser Term bedeutet, dass \(x_{0}\) falsch und \(x_{2}\) wahr sein muss. Betrachtet man den OBDD, führt der Pfad, wenn \(x_{0}\) falsch ist und dann \(x_{2}\) wahr, zu einem '1' Ergebnis ohne Berücksichtigung von \(x_{1}\) oder \(x_{3}\). Dies spricht dafür, dass dieser Term im minimierten OBDD enthalten ist.
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B: \( x_{0} \): Dieser Term sagt, dass wenn \(x_{0}\) wahr ist, die Funktion wahr wird, unabhängig von den Werten von \(x_{1}\), \(x_{2}\), und \(x_{3}\). Dies spiegelt sich im OBDD wider, indem der Pfad direkt von \(x_{0}\) wahr zu '1' führt. Dieser Term ist also im minimierten OBDD enthalten.
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C: \( \overline{x_{0}} \overline{x_{1}} x_{2} \): Dieser Term spezifiziert einen Pfad, bei dem \(x_{0}\) und \(x_{1}\) falsch und \(x_{2}\) wahr sind. Dieser Pfad führt ebenfalls zu '1', stellt aber eine spezifischere Bedingung dar als notwendig, da der Wert von \(x_{1}\) nicht relevant ist, wenn \(x_{0}\) falsch ist und \(x_{2}\) wahr. Daher könnte dieser Term als redundant angesehen werden.
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D: \( \overline{x_{0}} x_{1} \): Dieser Term bedeutet, dass \(x_{0}\) falsch und \(x_{1}\) wahr sein muss, aber aufgrund der Logik des Baumes führt dieser Pfad nicht direkt zu einem '1' Ergebnis ohne die Berücksichtigung von \(x_{2}\) und \(x_{3}\), was diesen Term weniger relevant für den minimierten OBDD macht.
Minimierter OBDD
Der minimierte OBDD wird am besten durch die Terme dargestellt, die direkt auf die Endausgabe '1' führen ohne unnötige Bedingungen:
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A: \( \overline{x_{0}} x_{2} \)
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B: \( x_{0} \)
Diese repräsentieren die Logik des OBDD am direktsten und effizientesten, ohne zusätzliche Bedingungen zu setzen, die für das Endergebnis nicht nötig sind.
