Antwort mit KI erzeugt
DEA für \(L\)
Um einen deterministischen endlichen Automaten (DEA) zu konstruieren, der die Sprache \(L=\{(ab)^n \mid n \geq 0\}\) akzeptiert, müssen wir zuerst die Komponenten des DEA definieren: \(Q\) (Zustände), \(\Sigma\) (Alphabet), \(\delta\) (Übergangsfunktion), \(q_0\) (Startzustand) und \(F\) (Akzeptierzustände).
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Alphabet \( \Sigma \): \( \Sigma=\{a, b\} \), wie in der Aufgabenstellung gegeben.
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Zustände \( Q \): Um die Sprache \(L\) zu erkennen, benötigen wir drei Zustände. Einen Startzustand, der den Beginn des Musters darstellt, einen Zustand, der das Lesen von \(a\) repräsentiert, und einen dritten Zustand, der das akzeptierende Ende nach einem \(b\) darstellt (nachdem ein \(a\) gelesen wurde). Daher \( Q = \{q_0, q_1, q_2\} \).
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Startzustand \( q_0 \): Der Startzustand ist \( q_0 \).
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Akzeptierzustände \( F \): Da die leere Zeichenkette \(\varepsilon\) (entsprechend \(n=0\)) in \(L\) enthalten ist, ist der Startzustand \(q_0\) auch ein Akzeptierzustand. Daher \( F = \{q_0, q_2\} \).
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Übergangsfunktion \( \delta \): Die Übergangsfunktion kann wie folgt definiert werden:
- Von \(q_0\) gehen wir mit \(a\) nach \(q_1\).
- Von \(q_1\) gehen wir mit \(b\) nach \(q_2\).
- Von \(q_2\) gehen wir mit \(a\) zurück nach \(q_1\), um das Muster \(ab\) erneut zu beginnen.
- Die Eingaben \(b\) bei \(q_0\) und \(a\) bei \(q_2\) führen in Fehlerzustände (die in einem minimalen Automaten nicht explizit dargestellt werden müssen, da der Automat vollständig sein soll).
Monoid \( (X, \circledast) \)
- Die Verknüpfung \(\circledast\) im Monoid \((X, \circledast)\) ist die Komposition von Transformationen, d.h., \(t_u \circledast t_v = t_{uv}\), wobei \(t_w(q) = \hat{\delta}(q, w)\) die Erweiterte Übergangsfunktion ist.
- Um \(X\) zu bestimmen, starten wir mit \(X' = \{t_{\varepsilon}, t_a, t_b\}\) und schließen unter der Operation \(*\) (hier als \(\circledast\)) ab. Da \(\Sigma = \{a, b\}\) und die Sprache durch die Konkatenation von \(a\) und \(b\) in der genauen Reihenfolge definiert ist, können \(t_{a}\) und \(t_{b}\) nur in einer Weise kombiniert werden, die der Sprache entspricht.
- \(t_{\varepsilon}\) ist die Identitätsabbildung.
- \(t_a\) transformiert Zustände entsprechend dem Lesen von \(a\).
- \(t_b\) transformiert Zustände entsprechend dem Lesen von \(b\).
Um die Verknüpfungstafel zu erstellen, betrachten wir \(t_{\varepsilon}, t_a\), und \(t_b\). Da jedoch weitere Transformationen durch Kombinationen dieser Basisabbildungen entstehen können, müssten wir diese ebenfalls in die Abschlussbildung einbeziehen. In diesem Fall ist die Abschlussbildung jedoch einfach, da sich Transformationen, die nicht mit dem Muster \(ab\) in der definierten Sprache übereinstimmen, wiederholen oder auf einem Fehlerzustand basieren würden.
In einem minimierten DEA und seinem Übergangsmonoid für die oben definierte Sprache \(L\) sind die Transformationen jedoch aufgrund der spezifischen Natur der Sprache und des DEA sehr begrenzt. Eigentlich bleiben wir bei den Basisabbildungen, da weitere gültige Kombinationen einfach die Wiederholung dieser Muster darstellen.
Elemente \(\varphi(L) \subseteq X \)
Die Elemente von \(\varphi(L)\) sind solche, die Zustände in \(F\) abbilden können, basierend auf Strings in \(L\). Da \(L\) nur aus dem Muster \((ab)^n\) besteht, beinhalten die relevanten Transformationen \(t_{(ab)^n}\).
Die hier entwickelten Konzepte bieten einen Rahmen. Um jedoch zu einer präzisen Implementierung oder detaillierteren mathematischen Ausarbeitung zu kommen, müssen diese Gedanken in konkrete Definitionen und Berechnungen innerhalb der theoretischen Informatik weiter ausgeführt werden.
