Bestimmen Sie alle Wörter über Σ = {I, V, X} bis zur Länge 2.

Question

Aufgabe:

Die römischen Zahlen sind im Gegensatz zu den sonst verwendeten Stellenwertsystemen eine besondere Darstellung von natürlichen Zahlen. Es handelt sich um ein additives System. Dabei steht I für 1, V für 5, X für 10, L für 50, C für 100, . . . . Die Symbole werden hintereinandergeschrieben und dann die Werte addiert. Z.B. steht CC für 100 + 100 = 200. Dabei gibt es noch eine Reihe von Sonderregeln. Nicht alle Symbole dürfen addiert werden. Z.B. ist LL, was 50+50=100 wäre, nicht erlaubt, da es dafür das Symbol C gibt. Generell müssen in einer Zahl die Symbole vom größten zum kleinsten geordnet sein. Auch hier gibt es Ausnahmen. So steht z.B. XC für 100 − 10 = 90.

a) Bestimmen Sie alle Wörter über Σ = {I, V, X} bis zur Länge 2. Welche dieser Wörter stellen tatsächlich römische Zahlen dar?

b) Geben Sie die Sprache an, die die ersten 10 römischen Zahlen enthält.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Aufgabe a)

Um alle Wörter über \(\Sigma = \{I, V, X\}\) bis zur Länge 2 zu bestimmen, müssen wir alle möglichen Kombinationen der Symbole mit Längen 1 und 2 aufzählen.

Wörter der Länge 1:

1. \(I\)
2. \(V\)
3. \(X\)

Wörter der Länge 2:

1. \(II\)
2. \(IV\)
3. \(IX\)
4. \(VI\)
5. \(VII\)
6. \(VX\) (nicht erlaubt, da direkte Kombination von V und X ohne Zusammenhang)
7. \(XI\)
8. \(XV\)

Wir überprüfen nun, welche dieser Wörter tatsächlich gültige römische Zahlen sind. Die gültigen Kombinationen der Länge 2 müssen den Regeln des römischen Zahlsystems folgen.

Gültige Wörter:
- \(I\) (1)
- \(V\) (5)
- \(X\) (10)
- \(II\) (2)
- \(IV\) (4)
- \(IX\) (9)
- \(VI\) (6)
- \(VII\) (7)
- \(XI\) (11)
- \(XV\) (15)

Somit sind die gültigen Wörter über \(\Sigma = \{I, V, X\}\) bis zur Länge 2:
\( \{I, V, X, II, IV, IX, VI, VII, XI, XV\} \)

Aufgabe b)

Die ersten 10 römischen Zahlen sind:
\( \{I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X\} \)

\( \text{Die Sprache}\ \mathcal{L}_{10} \text{, die die ersten 10 römischen Zahlen enthält, ist:} \)
\( \mathcal{L}_{10} = \{I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X\} \)