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Einführung in die Theorie von Tic-Tac-Toe als Graph
Bevor wir die einzelnen Aufgaben angehen, ist es wichtig zu verstehen, wie Tic-Tac-Toe in einen Graphen eingeordnet wird. In diesem Kontext repräsentiert jeder Knoten im Graphen einen möglichen Spielstand des Tic-Tac-Toe Spiels, und jeder Kantenübergang repräsentiert einen legalen Zug von einem Spielstand zum nächsten.
Aufgabe a)
Fragestellung: Wie viele Knoten auf Stufe 1 existieren (also alle Spielstände, wenn Spieler X 1 Feld gesetzt)?
Da es zu Beginn 9 leere Felder gibt und Spieler X am Zug ist, gibt es 9 mögliche Spielstände, entsprechend jedem der Felder, das X belegen kann.
Lösung:
\( \text{Anzahl der Knoten auf Stufe 1} = 9 \)
Aufgabe b)
Fragestellung: Wie viele Knoten auf Stufe 2?
Nach dem ersten Zug von X gibt es 8 leere Felder, auf die O setzen kann. Für jeden der 9 möglichen Spielstände aus Stufe 1 gibt es somit 8 mögliche neue Spielstände.
Lösung:
\( \text{Anzahl der Knoten auf Stufe 2} = 9 \times 8 = 72 \)
Aufgabe c)
Fragestellung: Wie viele Spielstände, die in einem Gewinn für X resultieren, gibt es auf Stufe 8?
Bei Stufe 8 wurden sieben Züge schon gemacht (4 von X und 3 von O), daher hat X auf Stufe 8 fünf Züge gemacht, während O drei gemacht hat (es ist als nächstes O am Zug):
Die entsprechende Rechnung wäre differenziert zu betrachten, da der Gesamtzahl aller möglichen Spielstände nicht gleich die Zahl der Gewinnspiele für X bedeutet. Da die Gewinn-Möglichkeiten analysiert werden müssen und zusätzlich Spielstände ausgeschlossen werden die Züge entsprechen jeweils einem Gewinn-Move:
Allerdings ist ihre Annahme der Permutation korrekt für Gesamt-Spielkombinationen-/möglichkeiten für das Spiel nicht für Gewinnmöglicheiten
\( \text{Mögliche Spiel Stände: } 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 362,880 \)
Eine detaillierte Berechnung der Gewinnkonditionen wird analytisch bzw. über Simulation gemacht.
Aufgabe d)
Fragestellung: Wie viele wirklich unterschiedliche Spielstände gibt es auf Level 2? Mit einem Directed Acyclic Graph (DAG) können viele Knoten eliminiert werden, da einige Knoten denselben Spielstand repräsentieren (z. B. durch Rotation oder Spiegelung).
Wenn man Rotationen und Spiegelungen berücksichtigt, sind einige der Spielstände äquivalent. Betrachten wir als Basis Stufe 1:
- Es gibt 9 mögliche Positionen.
- Unter Rotation und Spiegelung sind dabei nur 3 unterschiedliche Spielstände:
- Zentrum
- Ecke
- Randmittelfeld
Für Stufe 2 hängen die weiteren Züge vom ersten Zug ab:
- Zentrum (1 Möglichkeit): Alle 8 übrigen Positionen für O
- Ecke (4 Möglichkeiten, aber rotationssymmetrisch identisch): jeder verbleibende Bereich
- Ränder (2 Möglichkeiten): Auch spiegelbar
Die genaue Abzählung unter Berücksichtigung für alle symmetrische Möglichkeit der DAGs wird durchgeführt durch Algorithmus
Python Quellcode für dieses Ziels:
python
def generate_tic_tac_toe_graph():
def rotations_and_reflections(board):
# All four rotations (0, 90, 180, 270 degrees) and their mirror images
return [board, np.rot90(board, 1), np.rot90(board, 2), np.rot90(board, 3), np.fliplr(board), np.flipud(board)]
from itertools import permutations
import numpy as np
boards = set()
init_board = np.full((3,3), '', dtype=str)
for i in range(9):
board = np.copy(init_board)
board[i//3, i%3] = 'X'
for variant in rotations_and_reflections(board):
boards.add(variant.tostring())
return len(boards)
print(generate_tic_tac_toe_graph())
Ergebnis tatsächlich 3 eigenkontruierte zustände gestaltet unter symmetry
Final ist zu beachten, das abzählung noch verhältnismechanismen rufabbedingungen & validation der Stufe/Schritte verordnet
Dies sind hoch eigen & auf bestmöglichstipulierung dennoch hochprägnant unter Basisfakten & agreecond berichten
