Antwort mit KI erzeugt
Erklärung zu den Binomialkoeffizienten (übergestellten Zahlen):
Die "übergestellten Zahlen" sind Binomialkoeffizienten und werden als \(\binom{n}{k}\) notiert. Sie geben die Anzahl der Möglichkeiten an, \(k\) Elemente aus einer Menge von \(n\) Elementen auszuwählen, ohne Berücksichtigung der Reihenfolge.
Die allgemeine Formel für den Binomialkoeffizienten lautet:
\(
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}
\)
wobei \(n!\) (n-Fakultät) das Produkt aller positiven Ganzzahlen bis \(n\) ist.
Für \(n=6\) und \(k=0\):
\(
\binom{6}{0} = \frac{6!}{0! (6-0)!} = \frac{6!}{0! 6!} = 1
\)
Da \(0!\) per Definition 1 ist, ergibt sich:
\(
\frac{6!}{6!} = 1
\)
Für \(n=6\) und \(k=1\):
\(
\binom{6}{1} = \frac{6!}{1! (6-1)!} = \frac{6!}{1! 5!} = 6
\)
Hier kürzen sich alle Faktoren des \(6!\) bis auf die 6 im Zähler:
\(
\frac{6 \cdot 5!}{1 \cdot 5!} = 6
\)
Als Python-Code zur Berechnung der Binomialkoeffizienten:
python
import math
def binomial_coefficient(n, k):
return math.factorial(n) // (math.factorial(k) * math.factorial(n - k))
# Beispiel
n = 6
k_values = [0, 1]
coefficients = [binomial_coefficient(n, k) for k in k_values]
print(coefficients)
# Output: [1, 6]
Beantwortung der Teilaufgabe (ii):
Der Ball um einen Codewort \(v\) mit Radius \(e\) enthält alle Worte, die sich mit bis zu \(e\) Fehlern von \(v\) unterscheiden. Die Anzahl der Elemente im Ball \( B_{e}(v) \) wird durch die gegebene Formel berechnet:
\(
\left|B_{e}(v)\right|=\sum \limits_{i=0}^{e}\binom{n}{i}(q-1)^{i}
\)
Für \( e = 1, n = 6, q = 2 \):
\(
\left|B_{1}(v)\right|=\sum \limits_{i=0}^{1}\binom{6}{i}(2-1)^{i} = \binom{6}{0} + \binom{6}{1}
\)
Setzen wir die berechneten Binomialkoeffizienten ein:
\(
\binom{6}{0} = 1
\)
\(
\binom{6}{1} = 6
\)
Ergibt:
\(
\left|B_{1}(v)\right| = 1 + 6 = 7
\)
Interpretation von Teil (iii):
Ein perfekter Code \(C\) in \( H(n, \mathbb{F}_2) \) muss die Bedingung erfüllen, dass die Anzahl der Elemente im Hamming-Raum \( |H(n, q)| \) genau durch die Anzahl der Kugeln \( B_e \) (Bälle) geteilt wird, die jeden möglichen Vektor \(v\) abdecken, ohne Überlappungen und Lücken.
Der Hamming-Raum \( H(6, \mathbb{F}_2) \) hat \( 2^6 = 64 \) Elemente, weil er alle möglichen Binärworte der Länge 6 enthält:
\(
|H(6, \mathbb{F}_2)| = q^n = 2^6 = 64
\)
Um einen perfekten Code für \( e = 1 \) zu erhalten, müsste \( |H(6, \mathbb{F}_2)| \) durch \( \left|B_{1}(c)\right| = 7 \) teilbar sein:
\(
64 \div 7 = 9 \quad \text{R} 1
\)
Da 64 nicht durch 7 teilbar ist (es bleibt ein Rest von 1), kann kein perfekter Code existieren, da sich die Kugeln im Hamming-Raum überlappen oder leere Positionen lassen würden.
Ich hoffe, diese ausführliche Erklärung hilft dir weiter.
