Aussagenlogik Äquivalenzen: F:=A1∧A3→(¬A2∨¬A1), G1:=A1→A2, G2:=A1∨A2 α:=[A1→1,A2→0,A3→1]

Question

Aufgabe:

F := A1 ∧ A3 → (¬A2 ∨ ¬A1),

G1 := A1 → A2,  G2 := A1 ∨ A2 und

α:=[A1 → 1, A2 → 0, A3 →1]

wir sollen hier für folgendes bestimmen:

F dann unter derm F in eckigen Klammern [G1/A1, G2/A2]

Problem und Lösungsansatz:

Falls F = A1 dann F[G1/A1] = A1[G1/A1] = G1                                                                                                                           Falls F = A2 dann F[G2/A2] = A2[G!/A2] = G2

Falls F != A2 dann F[G1/A1] = F analog für F != A2

a[A1 → a(G1), A2 → a(G2)]

Mein Problem ist jetzt wie die erste Zeile des Beweises aussehen soll, weil hier handelt es sich um eine gleichzeitige Einsetzung mehrere Variablen und das verwirrt mich sehr stark. Soll das z.B so aussehen:

a[A1 → a(G1), A2 → a(G2)]

= a( [A1 →  (A1 → A2)] v [A2 → (A2 v A2)] )

das scheint mir falsch zu sein, weil ich lasse ja hier F komplett raus? Ich darf die Belegungen für A1, A2 und A3 nicht sofort eisetzen. Wir sollen erst vereinfachen und zum Schluss die Belegungen einsetzen.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Logik gleichzeitige Einsetzung mehrer Variablen

Stichworte: logik,funktion,boolesche-algebra,variable

Aufgabe:

F:=A1∧A3→(¬A2∨¬A1),

G1:=A1→A2, G2:=A1∨A2

α:=[A1→1,A2→0,A3→1]

Problem/Ansatz:

hallo,

An sich versteh ich die Aufgabe, aber ich weiß nicht, wie die Ausgansgsform also die erste Zeile aussehen muss.

a[A1 -> a(G1), A2 -> a(G2)]

 => A1 -> (A1 -> A2) ≡ A2 -> (A1 v A2) muss das so ausehen oder so:

F ≡ G1 zeigen und danach F ≡ G2

ich weiß nicht, was hier wie eingesetzt werden soll.

Über eine Aufklärung würde ich mich freuen.

LG

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Lösungsansatz:

Um die Aufgabe zu lösen, beginnen wir mit der ursprünglichen Aussage \( F := A1 \land A3 \rightarrow (\neg A2 \lor \neg A1) \). Wir sollen diese Aussage dann unter Benutzung der Ersetzungen \([G1/A1, G2/A2]\) umwandeln, wobei:

- \(G1 := A1 \rightarrow A2\)
- \(G2 := A1 \lor A2\)

Die Belegung \(\alpha:=[A1 \rightarrow 1, A2 \rightarrow 0, A3 \rightarrow1]\) wird zum Schluss eingesetzt, um den Wahrheitswert der umgeformten Aussage zu bestimmen.

Ersetzung vornehmen:

1. Ersetze \(A1\) durch \(G1\) und \(A2\) durch \(G2\) in \(F\), also \(F[G1/A1, G2/A2]\).
2. Dies ergibt: \(F := G1 \land A3 \rightarrow (\neg G2 \lor \neg G1)\).

- Ersetze \(G1\) mit \(A1 \rightarrow A2\) und \(G2\) mit \(A1 \lor A2\).

3. Nun haben wir: \((A1 \rightarrow A2) \land A3 \rightarrow (\neg (A1 \lor A2) \lor \neg (A1 \rightarrow A2))\).

Vereinfachung:

Bevor wir die Belegung \(\alpha\) einsetzen, lassen Sie uns die Aussage in der einfachsten Form darstellen.

Die logische Implikation \(A \rightarrow B\) kann als \(\neg A \lor B\) umgeformt werden.

Also kann \((A1 \rightarrow A2)\) zu \((\neg A1 \lor A2)\) umgeformt werden.

4. Dies führt zu: \((\neg A1 \lor A2) \land A3 \rightarrow (\neg (A1 \lor A2) \lor \neg (\neg A1 \lor A2))\).

Beachten Sie auch, dass \(\neg (A1 \lor A2)\) zu \(\neg A1 \land \neg A2\) vereinfacht werden kann und \(\neg (\neg A1 \lor A2)\) zu \(A1 \land \neg A2\).

5. Jetzt haben wir: \((\neg A1 \lor A2) \land A3 \rightarrow (\neg A1 \land \neg A2 \lor (A1 \land \neg A2))\).

Einsetzen der Belegungen \(\alpha\):

- \(A1 \rightarrow 1\)
- \(A2 \rightarrow 0\)
- \(A3 \rightarrow 1\)

6. Ersetzung ergibt:

- Für \(A1\): Wahr (\(1\)),
- Für \(A2\): Falsch (\(0\)),
- Für \(A3\): Wahr (\(1\)).

7. Einsetzen in die vereinfachte Form: \((\neg 1 \lor 0) \land 1 \rightarrow (\neg 1 \land \neg 0 \lor (1 \land \neg 0))\).

Dies vereinfacht zu: \(0 \land 1 \rightarrow (0 \land 1 \lor 1) = 0 \rightarrow 1 = 1\).

Schlussfolgerung:

Unter Benutzung der gegebenen Ersetzungen \(G1/A1\), \(G2/A2\) und der Belegung \(\alpha\), vereinfachen wir die ursprüngliche Aussage \(F\) und setzen die Werte ein, um den Wahrheitswert zu bestimmen. In diesem Fall ergibt die vereinfachte und umgeformte Aussage \(F\) unter der gegebenen Belegung einen Wahrheitswert von \(1\), was bedeutet, dass die Aussage wahr ist.