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Operationen auf Sprachen 1
a) Definition und Beschreibung von \(L_{1}\)
Formal: \(L_{1}=(\Sigma-\{0, \ldots, 9, .\})(\Sigma-\{.\})^{*}\{.\}(\Sigma-\{0, \ldots, 9, .\})^{2}(\Sigma-\{0, \ldots, 9, .\})^{*}\)
Informale Beschreibung:
Die Sprache \(L_{1}\) besteht aus Wörtern, die mit einem Buchstaben beginnen, gefolgt von einer beliebigen Kombination von Buchstaben und Ziffern (aber ohne den Punkt). Dann folgt genau ein Punkt, gefolgt von mindestens zwei Buchstaben und daraufhin einer beliebigen Anzahl von Buchstaben (ohne Zahlen und Punkte).
Beispiele:
- In der Sprache: "hello.world" (beginnt mit Buchstaben, gefolgt von Buchstaben, einem Punkt, mindestens zwei Buchstaben, keine Ziffern nach dem Punkt)
- Nicht in der Sprache: "123.test" (beginnt nicht mit einem Buchstaben)
b) Definition und Beschreibung von \(L_{2}\)
Formal: \(L_{2}=\bar{\emptyset}\{a a\} \bar{\emptyset} = \{aa\}\)
Informale Beschreibung:
Die Sprache \(L_{2}\) besteht einzig und allein aus dem Wort "aa", da das Komplement der leeren Menge (\(\bar{\emptyset}\)) nach wie vor das gesamte Alphabet umfasst, but wird auf das spezifische Wort "aa" reduziert.
Beispiele:
- In der Sprache: "aa" (entspricht genau der Definition)
- Nicht in der Sprache: "ab" (enthält nicht die geforderte Sequenz "aa")
c) Definition und Beschreibung von \(L_{3}\)
Formal: \(L_{3}=\overline{\overline{\{\lambda\}}\{b\}} \)
Informale Beschreibung:
Um diese Sprache zu verstehen, muss man sie schrittweise analysieren. Das Innere \(\overline{\{\lambda\}}\) repräsentiert das Komplement der Menge, die nur das leere Wort \(\lambda\) enthält, also alle möglichen Wörter außer \(\lambda\). Danach wird \(\{b\}\) zu dieser Menge hinzugefügt, was jedoch keinen Einfluss hat, da \(\{b\}\) bereits im Komplement von \(\{\lambda\}\) enthalten ist. Schließlich wird das Komplement dieser ganzen Menge noch einmal genommen, was uns zurück zu \(\{\lambda\}\) führt.
Beispiele:
- In der Sprache: \(\lambda\) (als Resultat des doppelten Komplementes)
- Nicht in der Sprache: "b" (oder jegliches anderes Wort, da die Sprache nur \(\lambda\) umfasst)
d) Definition und Beschreibung von \(L_{4}\)
Formal: \(L_{4}=\{a\}\{a a\}^{*}\{b\}\{b b\}^{*} \cap \{a^{n} b^{n} \mid n \geq 0\}\)
Informale Beschreibung:
Diese Sprache beschreibt Wörter, die mit einer ungeraden Anzahl von "a" beginnen, gefolgt von einer geraden Anzahl von "b", und gleichzeitig muss die Anzahl von "a" gleich der Anzahl von "b" sein. Das führt dazu, dass das einzige Wort, welches diese Kriterien erfüllt, "ab" ist.
Beispiele:
- In der Sprache: "ab" (erfüllt beide Bedingungen)
- Nicht in der Sprache: "aab" (ungleiche Anzahl von "a" und "b")
e) Definition und Beschreibung von \(L_{5}\)
Formal: \(L_{5}=\left(\overline{\{0\}+\Sigma^{+}}-\{\lambda\}\right) \cap \Sigma^{*}(\{0\} \cup\{5\})\)
Informale Beschreibung:
Diese Sprache enthält Wörter, die nicht nur mit "0" beginnen und mindestens ein Zeichen lang sind (dargestellt durch \(\overline{\{0\}+\Sigma^{+}}\)). Gleichzeitig müssen diese Wörter auf "0" oder "5" enden. \(L_{5}\) wird durch Kreuzung dieser Bedingung mit allen möglichen Zeichenfolgen (\(\Sigma^{*}\)) erreicht, die auf "0" oder "5" enden. Das bedeutet, dass jedes nicht-leere Wort, das nicht mit "0" beginnt und auf "0" oder "5" endet, in der Sprache enthalten ist.
Beispiele:
- In der Sprache: "15" (nicht mit "0" beginnend und auf "5" endend)
- Nicht in der Sprache: "05" (beginnt mit "0")
