Antwort mit KI erzeugt
Einleitung
Um die Funktion \( f: \{a, b\}^* \to \{a, b, \$, c\}^* \) durch eine Turingmaschine zu realisieren, bei der für ein Wort \( w \) \( f(w) = c^{|w|}\$w \) gilt, muss die Turingmaschine die folgenden Aufgaben bewältigen:
1. Das Eingabewort \( w \) einlesen.
2. Eine Anzahl von Symbolen \( c \) auf der linken Seite des Wortes hinzufügen, die der Länge \( |w| \) von \( w \) entspricht.
3. Ein Symbol \( \$ \) nach den \( c \)-Symbolen einfügen.
4. Das Originalwort \( w \) nach dem Symbol \( \$ \) einfügen.
Turingmaschine entwerfen
1. Zustände und Übergänge
Die Turingmaschine muss mindestens die folgenden Zustände haben:
- \( q_0 \): Startzustand, liest das erste Zeichen.
- \( q_1 \): Zustand, der die Länge von \( w \) zählt und \( c \) hinzufügt.
- \( q_2 \): Zustand, der zum Anfang des Bandes zurückkehrt.
- \( q_3 \): Zustand, der das Symbol \( \$ \) hinzufügt.
- \( q_4 \): Zustand, der das Wort \( w \) vom ursprünglichen Platz nimmt und nach dem \$ einfügt.
- \( q_{acc} \): Akzeptierender Zustand, wenn der Prozess abgeschlossen ist.
2. Arbeitsweise und Bedeutung der Zustände
-
Startzustand \( q_0 \): Die Turingmaschine beginnt im Startzustand und liest das erste Zeichen des Wortes.
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Zustand \( q_1 \): Hier bleibt sie in diesem Zustand, während sie jedes Zeichen von \( w \) liest, und schreibt gleichzeitig \( c \) am Anfang. Danach wechselt sie zu \( q_2 \).
-
Zustand \( q_2 \): In diesem Zustand bewegt sich die Maschine zurück zum Anfang des Bandes.
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Zustand \( q_3 \): Fügt das Symbol \( \$ \) hinter die \( c \)-Symbole ein und wechselt zu \( q_4 \).
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Zustand \( q_4 \): Schreibt das restliche Wort \( w \) ab und bewegt sich durch das Wort.
-
Zustand \( q_{acc} \): Akzeptiert den Abschluss sobald das Wort vollständig geschrieben ist.
3. Zustandsdiagramm
Das Zustandsdiagramm kann wie folgt aussehen:
(q_0) --(a/ca,R)--> (q_1)
(q_1) --(a/a,R)--> (q_1)
(q_1) --(b/b,R)--> (q_1)
(q_1) --(</</L)--> (q_2)
(q_2) --(/</L)--> (q_2)
(q_2) --(</</R)--> (q_3)
(q_3) --(</$/R)--> (q_4)
(q_4) --(a/a,R)--> (q_4)
(q_4) --(b/b,R)--> (q_4)
(q_4) --(_/_/R)--> (q_acc)
Erklärung der Übergänge
1.
Zustand \( q_0 \):
- Liest \( a \) und schreibt \( c \) hin, bewegt den Kopf nach rechts.
- Führt dies für alle Zeichen \( a \) und \( b \) aus, bleibt im Zustand \( q_1 \).
2.
Zustand \( q_1 \):
- Weiteres Lesen des Wortes und Hinzufügen der entsprechenden \( c \)-Symbole.
- Wenn Ende des Wortes erreicht ist (lese Leerzeichen
_), bewegt sich zum Zustand \( q_2 \).
3.
Zustand \( q_2 \):
- Rückkehr zum Anfang des Bandes, wechselt zu \( q_3 \).
4.
Zustand \( q_3 \):
- Fügt das Symbol \( \$ \) am Anfang nach den \( c \)-Symbolen hinzu, wechselt zu \( q_4 \).
5.
Zustand \( q_4 \):
- Schreiben der ursprünglichen Zeichen \( a \) und \( b \) aus dem Wort \( w \) nach dem Symbol \( \$ \).
- Nach dem Schreiben des ganzen Wortes \( w \) wechselt zum akzeptierenden Zustand \( q_{acc} \).
Zusammenfassung
Diese Turingmaschine realisiert die Funktion \( f \), indem sie die Länge des Wortes \( w \) zählt, entsprechend viele \( c \)-Symbole am Anfang setzt, das Symbol \( \$ \) hinzufügt und dann das ursprüngliche Wort \( w \) abschließend an das \Symbool \$ anfügt.
